Question

已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B， 已知某椭圆

已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，
已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．
问一下 椭圆上任一点到准线的距离与它到焦点的距离有什么关系

Answer 1

椭圆上任一一点到焦点的距离比上其到相应准线的距离等于离心率e。
（1）|F1B|＋|F2B|＝10，得a=5，又因为c=4，所以得b^2=a^2-c^2=9
所以方程为x^2/25+y^2/9=1
（2）F2B是通径的一半，所以F2B=b^2/a=9/5；椭圆的离心率e=4/5；
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，则：|F2A|+|F2C|=2|F2B|=18/5
F2为右焦点，根据焦半径公式：|F2A|=a-ex1=5-4x1/5，|F2C|=a-ex2=5-4x2/5
所以：5-4x1/5+5-4x2/5=18/5，得x1+x2=8
所以，AC中点的横坐标是4；
（3）先求k：设AC中点为M，则M在直线y＝kx＋m上，而由（2）点M的横坐标为4，代入直线
得其纵坐标为4k+m，即y1+y2=8k+2m
因为AC在椭圆上，所以：x1^2/25+y1^2/9=1，x2^2/25+y2^2/9=1 两式作差：
（这是点差法的典型运用）(x1^2-x2^2)/25+(y1^2-y2^2)/9=0
即：(x1+x2)(x1-x2)/25+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
把x1+x2=8，y1+y2=8k+2m代入得：8(x1-x2)/25+(8k+2m)(y1-y2)/9=0
等式两边同除2(x1-x2)得：4/25+(4k+m)(y1-y2)/9(x1-x2)=0；①
注意观察：(y1-y2)/(x1-x2)是AC的斜率，
因为AC中垂线的斜率为k，则AC的斜率即(y1-y2)/(x1-x2)=-1/k代入①式，得：
4/25-(4k+m)/9k=0，整理得：36k=100k+25m，即可得：k=-25m/64
所以点M的纵坐标4k+m=-9m/16
所以点M(4，-9m/16)，点M在直线x=4上，但是对M的要求是它必须落在椭圆内；
x=4恰好是椭圆焦点的横坐标，易得x=4时，y=±b^2/a=±9/5
所以-9/5<-9m/16<9/5
所以，得：-16/5<m<16/5

注：这其中用到的通径公式，焦半径公式等，如果不知道的话，自己去补充学习吧，很重要。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！