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解: 构造辅助行列式D1
1 1 ... 1 1 1
x1 x2 ... xn-1 xn y
... ... ... ...
x1^n-2 x2^n-2 ... xn-1^n-2 xn^n-2 y^n-2
x1^n-1 x2^n-1 ... xn-1^n-1 xn^n-1 y^n-1
x1^n x2^n ... xn-1^n x1^n y^n
则D1是Vandermonde行列式
D1 = (y-x1)...(y-xn) ∏(xj-xi)
注意到原行列式即D1的 y^n-1 的余子式
所以原行列式
= y^n-1 的系数 * (-1)^(n-1+n+1)
= y^n-1 的系数
= -(x1+x2+...+xn)∏(xj-xi)
1 1 ... 1 1 1
x1 x2 ... xn-1 xn y
... ... ... ...
x1^n-2 x2^n-2 ... xn-1^n-2 xn^n-2 y^n-2
x1^n-1 x2^n-1 ... xn-1^n-1 xn^n-1 y^n-1
x1^n x2^n ... xn-1^n x1^n y^n
则D1是Vandermonde行列式
D1 = (y-x1)...(y-xn) ∏(xj-xi)
注意到原行列式即D1的 y^n-1 的余子式
所以原行列式
= y^n-1 的系数 * (-1)^(n-1+n+1)
= y^n-1 的系数
= -(x1+x2+...+xn)∏(xj-xi)
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