Question

底面边长为a的正三棱锥 侧面均为直角三角形 体积是多少

Answer 1

解：由边长为a的等边三角形的面积公式得：S=(√3/4)×a²
设侧面三角形的直角边为x，由勾股定理得：x²+x²=a²
解得：x=(√2/2)a
设三棱锥顶点为P，过顶点P做底面的垂线，交底面为O点，此点也是底面的等边三角形的重心（三心合一），即三棱锥的高，设高为h。
连接底面三角形ABC的一个顶点（假如A）和O点，则Rt△POA中，斜边为x=(√2/2)a
Rt△POA中的直角边AO=(√3/2)a × (2/3)=(√3/3)a （等边三角形三心合一，重心到顶点的距离为高线的2/3，此很容易证明得到，过程略）
由勾股定理得：h= √{ [ (√2/2)a ]²- [ (√3/3)a ]²} = (√6/6)a
三棱椎的体积：V= (1/3)×Sh = (1/3)×(√3/4)×a² × (√6/6)a = (√2/24)a³

Answer 2

由题意得，三个顶角为90°，三个过顶点的棱长为（根号2）a/2
于是体积为（1/3）*（根号2）a/2*（1/2）[（根号2）a/2]²
=（根号2）a³/24