Question

如图,已知直线PA交圆O于A,B两点,AE是圆O的直径,点C为圆O上一点,且AC平分角PAE，过

.如图，已知直线 交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作 ，垂足为D.

若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

Answer 1

如图 
（1）连接OC． 
∵点C在⊙O上，OA=OC， 
∴∠OCA=∠OAC． 
∵CD⊥PA， 
∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°． 
∵AC平分∠PAE， 
∴∠DAC=∠CAO． 
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°． 
又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径， 
∴CD为⊙O的切线． 

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F， 
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°， 
∴OC=FD，OF=CD． 
∵DC+DA=6， 
设AD=x，则OF=CD=6-x， 
∵⊙O的直径为10， 
∴DF=OC=5， 
∴AF=5-x， 
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF^2+OF^2=OA^2． 
即（5-x）^2+（6-x）^2=25， 
化简得x^2-11x+18=0， 
解得x=2或x=9． 
∵CD=6-x＞0，故x=9舍去， 
∴x=2， 
∴AD=2，AF=5-2=3， 
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， 
∴AB=2AF=6

Answer 2

连结PO，做CQ⊥AE，OP⊥DB
易证△ADC≌△AQC，△AQC∽△CAE，设AQ=x，由射影定理得（6-x)^2=x（5+x)
解得x1=2,x2=9(过大，舍去）
∴AD=AQ=2
角DAC=角CAQ，又∵OA=OC，∴角CAQ也=角ACO （角的好像符号打不出）
∴角DAC=角ACO，∴DP∥CO，易证CD∥PO，∴CDPO是平行四边形，∴CO=DP
∵直径10，所以CO=5即DP=5，又因为AD=2
∴AP=3
垂径定理得AB=6

Answer 3

（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
望采纳！

Answer 4

　　（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．

Answer 5

如图
（1）连接OC．
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO．
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°．
又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF^2+OF^2=OA^2．
即（5-x）^2+（6-x）^2=25，
化简得x^2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x＞0，故x=9舍去，
∴x=2，
∴AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．