Question

已知f(x)=X+a^2/X,其中a>0,(1)判断f(x)的奇偶性(2)证明函数f(x)在区间（0，a】上单调递减，

在区间【a，+无穷大）上单调递增（3）求函数f(x)在区间（-无穷大，0）上的最大值
详细点。。

Answer 1

1. 函数的定义域是A＝{x│x≠0}
任意的x∈A，-x∈A
f(-x)=-x-a^2/x=-(x+a^2/x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
2. 设 x1<x2∈（0，a]
f(x1)-f(x2)=x1-x2+a^2(x2-x1)/(x1x2)^2=(x2-x1)[-1+a^2/(x1x2)^2]
0<x1<=a,0<x2<=a
0<x1x2<=a^2(仅当x1＝x2时等号成立）
a^2/(x1x2)^2>1
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[-1+a^2/(x1x2)^2]>0
f(x1)>f(x2)
所以f(x)在区间（0，a]上单调递减
类似可证f(x)在区间[a，+∞)上单调递减（就是x1x2>=a^2）
3 x<0,-x>0
f(x)=x+a^2/x=-(-x-a^2/x)
因为=(-x)*(-a^2/x)=a^2为一定值
所以当(-x)＝(-a^2/x)时-x-a^2/x有最小值
x^2=a^2
x=-a
即x=-a时
f(x)=x+a^2/x=-(-x-a^2/x)有最大值-2a。