Question

设集合A={x│2(log1/2x)^2-14log4x+3≤0},若函数f(x)=loga(x/a).loga(x/a^2)，其中a>1，当x∈A时，

其值域为B={y│-1/4≤y≤2},求实数a的值。
我要过程，不但是要结果

Answer 1

A={x∣2(log0.5x)^2－14 log4x＋3≤0｝
={x|2(log<2>x)^2-7log<2>x+3<=0}
={x|1/2<=log<2>x<=3}
={x|√2<=x<=8}，
f（x）＝log<a>(x／a)×log<a>(x／a2)
=(log<a>x-1)(log<a>x-2)
=(log<a>x-3/2)^2-1/4,
其中a＞0,a≠1,当x∈A时，其值域为
B＝｛y∣－1／4≤y≤2｝,
设t=log<a>x,则t介于log<a>√2，log<a>8,
f(x)=g(t)=(t-3/2)^2-1/4∈B,
∴g(log<a>√2）=2或g(log<a>8)=2,
log<a>√2-3/2=土3/2，或
log<a>8-3/2=土3/2，
∴log<a>√2=3，或log<a>8=3，
∴a=2^(1/6),或a=2.
检验：a=2^(1/6)时t∈[3,18],g(18)>2,舍去；
a=2时t∈[1/2,3],g(t)∈B.
综上，a=2.