Question

f(x)=x^2/x-3在[1,2]上的单调性

如题，
可不可以把式子变成（x/x-3）x
把（x/x-3）设为a
原式=ax
因为x-3<0,x>0
所以a<0
所以原式为减函数
想问这样做可不可以

Answer 1

1. 按照您的方法，把原题变一下：f(x) = (x-3)/x^2, 余不变
令 a=(x-3)/x
f(x)=a/x
同样 a<0, x>0
得到 f(x)也为减函数，但是 f(x)= (x-3)/x^2, 在[1,2]上是增函数！
因此这样作有问题，单靠f(x)<0判断不了f(x) 的增减。结论正确是巧合。
2. f '(x) = x(x-6)/(x-3)^2 < 0 x~[1，2]. 所以 f(x) 为减函数。
3. 根据定义：若x2>x1，f(x2)-f(x1)<0,那么f(x)就是减函数：
对于本题：f(x2)-f(x1) ＝ (x2-x1)[x1x2-3(x1+x2)]/[(x1-3)(x2-3)]；
利用不等式可以证明：x1x2-3(x1+x2) < 0
因此 f(x2)-f(x1) < 0
即 f(x) 为减函数。

Answer 2

不行。