Question

设斜率为2的直线L过抛物线y²=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4

设斜率为2的直线L过抛物线y²=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为？

Answer 1

解：
∵F是抛物线y^2=ax的焦点
∴F(a/4，0)
∵斜率为2的直线过点F
∴直线方程就是y=2(x-a/4)，即y=2x-a/2.
∵A是直线与y轴的交点
∴A(0，-a/2)
∴S△OAF=(1/2)×|OA|×|OF|=(1/2)×|-a/2|×|a/4|=a^2/16
∵S△OAF=4
∴a^2/16=4
∴a^2=64
∴a=±8
∴抛物线的方程为y^2=±8x.

Answer 2

其实这类解析几何题就一个思路
就是先找到未知量
这个题的特点是给了三角形OAF的面积，那么这个三角形的三个点中一个是原点，一个是A（0，y1）（因为是Y轴上的点）还有就是抛物线的焦点F，焦点F可以表达成a的表达式，（具体参照抛物线方程，我没具体查公式），F在X轴上，可以写成（X1，0）其中X1为与a有关的表达式
这样斜率为2的直线就可以表达为y=2（x-X1）当X=0时，可得Y1=-2X1
而该三角形面积实际上是Y1乘以X1除以2，且Y1和X1都和a有关，这样就得到了一个未知量为a的一元方程。求解即可得a的值