Question

如图所示，一个二重积分题，关于c与d该怎么分析？f(x,y)与f(y,x)有什么区别？d是右侧是f

如图所示，一个二重积分题，关于c与d该怎么分析？f(x,y)与f(y,x)有什么区别？d是右侧是f(y,x)在D上积分

Answer 1

好像是D正确
f(x,y)与f(y,x)关于平面x=y对称
此题可以先求出f(x,y),因为D∫∫f(x,y)dxdy是常数，还是用那种办法，假设这个常数等于比如说等于A，则f(x,y)=xy+A,所以A=D∫∫xydxdy+2A=,A=0,所以f(x,y)=xy,剩下的按照常规的计算方法计算就可以了(A)0=1/8(B)0=1/4(C)0=1/4(D)0=0
不过因为是选择题，也可以只看到f(x,y)=xy+A就可以了，这个函数的值关于x±y=0对称，
f(x,y)=f(y,x)可以知道D正确

追问

谢谢！另外请问一下，如果积分区域D不关于y=x对称，如果函数变为f(y,x),则D也应该相应变化是吗？

追答

是的，不过由于f(y,x)和f(x,y)关于x=y对称，所以应该是f(y,x)在D上的积分等于f(x,y)在D'上的积分，D'和D关于x=y对称，即D'的三个顶点分别为:(-1,-1)(1,-1)(1,1),这样就可以计算了~

追问

太感谢你了！不过我还有一个问题，就是既然积分区域关于y=x对称有轮换对称性，如果积分区域关于y=-x对称时有什么性质呢？

Answer 2

反函数吧，颠倒一下

追问

那该怎么分析呢？x积分区域D的图形变吗？