Question

已知ab为常数a≠0 f（x）=ax平方+bx f（2）=0且方程f（x）=x有两个相等实数根

是否存在实属m，n（m小于n），使f（x）的定义域、值域分别为[m,n]和[2m,2n]

Answer 1

∵f(x)=ax²+bx，f(x)=x有两个相等实数根，∴ax²+bx=x有两个相等实数根，
就是ax²+(b-1)x=0有两个相等实数根，则b=1；
∵f(2)=0，就是2²a+2b=0，或4a+2=0，∴a=-1/2，得f(x)=-x²/2+x。
依题意，欲使f(x)=-x²/2+x=2x，解方程-x²/2-x=0，得两实根x1=-2，x2=0；
令f(x)=-x²+x的定义域为[-2，0]，则其值域为[-4，0]。
就是说，存在实数m=-2，n=0，能使f（x）的定义域、值域分别为[m,n]和[2m,2n]。

Answer 2

f(2)=0,则4a+2b=0,b=-2a
方程f（x）=x有两个相等实数根 ax^2-2ax=x有两个相等实数根则2a+1=0 a=-1/2 b=1
则f(x)=-1/2(x^2-2x)=-1/2(x-1)^2+1/2
【f(x)】max=1/2 则n小于或等于1/4
又f(x)在（-∞，1）单调递增，
不妨假设存在实属m，n（m小于n），使f（x）的定义域、值域分别为[m,n]和[2m,2n]
则f(m)=2m f(n)=2n 带入方程计算（m<n）
则m=-2,n=0
故存在实属m，n（m小于n），使f（x）的定义域、值域分别为[m,n]和[2m,2n]

Answer 3

f(2)=0,则4a+2b=0,b=-2a
ax^2-2ax=x
2a+1=0 a=-1/2 b=1
则f(x)=-1/2(x^2-2x)=-1/2(x-1)^2+1/2
【f(x)】max=1/2 则n小于或等于1/4
又f(x)在（-∞，1）单调递增，
不妨假设存在实属m，n（m小于n），使f（x）的定义域、值域分别为[m,n]和[2m,2n]
则f(m)=2m f(n)=2n 带入方程计算（m<n）
则m=-2,n=0
故存在实属m，n（m小于n），使f（x）的定义域、值域分别为[m,n]和[2m,2n]