Question

关于留数在定积分计算中的运用。如图中的cosmx等于eimx是怎么来的？

Answer 1

cosmx是e^(imx)的实部，原来的积分I是现在这个积分的实部的一半，现在的这个积分可以变成一个复变函数的积分，用留数定理计算。

追问

您的意思是 e^(imx)等于2cosmx对吗？

追答

不是，e^(imx)=cosmx+isinmx。
e^(imx)/(5-4cosx)在-π到π上的积分的结果是个复数A+Bi，其中实部A就是被积函数的实部cosmx/(5-4cosx)的积分，A/2＝I。
所以只要算出来e^(imx)/(5-4cosx)在-π到π上的积分就行了，之所以要考虑这个积分，是为了更好的把定积分转化为复变函数的积分，一方面积分区间必须是长度为2π的区间，另一方面是更好的处理cosmx。