Question

求因式分解的公式，最好有例题！

提公因式，分离常数，完全平方等！！

Answer 1

因式分解：
定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的分解因式（分解因式为正式的逆运算）
因式分解：a的平方-4=（a+2）（a-2）
分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4

提取公因式：1找多项式每项的公因式
2提公因式
注意问题：1每个括号多不能提
2每个括号的第一项不能提数
3数字的最大约数不一定为1
4（x-y）^2n=（y-x）^2n
（x-y）^2n+1=-（y-x）^2n+1
-a+b=-（a-b）
5分解后答案不能有多重括号，每个括号都要化简
6数字和单个字母要写在最前面
7能变相同的要写相同因式
8求代数的值：先因式分解在求值

分离常数：
在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求常量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出常量的取值范围。这种方法可称为分离常数法。用这种方法可使解答问题简单化。 　　
例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数. 　　
例:y=x/(2x+1).求函数值域 　　
分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项. 　　
Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1) 　　
=1/2-1/[2(2X+1)]. 　　
即有,-1/[2(2X+1)]≠0, 　
Y≠1/2. 　　
则,这个函数的值域是:{Y|Y≠1/2}.

十字相乘法
定义：1常数项是正数是，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同
2常数项是负数是，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同
例：x的平方+7x+10 （归纳一）
1 2 =（x+2）（x+5）
1 5
2+5=7
例：x的平方+3x-4 （归纳二）
1 4 =（x+4）（x-1）
1 -1
4+（-1）=3

Ax的平方+Bx+C=（A1x+C1）（A2x+C2）
（ABC是常数）A1*A2=A
C1*C2=C
A1 C1
A2 C2
--------------
A2C1+A1C2=B

公式法：1平方差公式
2完全平方公式

平方差公式：
例：a的平方-4=（a+2）（a-2）
（a+2）（a-2）=a的平方-4
注意：分解的结果不能为根号，如：x的平方-7y的平方

完全平方公式：首的平方加减2*首*尾+尾的平方
特点：1必须是三项式
2有两个“项”的平方（有两个“项”的符号相同）
3有这两“项”的2倍或-2倍
方法：分组分解法
如果整式是4项，分组方法有 2 2分
1 3分（必须是完全平方）
例：xa+bx+ya+by
解：2 2分
xa+bx+ya+by
=（xa+bx）+（ya+by）
=x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）

解：1 3分
xa+bx+ya+by
=（xa+ya）+（bx+by）
=a（x+y）+b（x+y）
=（a+b）（x+y）

5项：分组分解是2 3分
6项：分组分解是2 2 2分
3 2 1分
3 3分

Answer 2

【提公因式法】
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m
　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。
　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式
【公式法】
两根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)
　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
　　完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3．
　　公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
　　例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2
【分组分解法】
　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
　　比如：
　　ax+ay+bx+by
　　=a(x+y)+b(x+y)
　　=(a+b)(x+y)

同样，这道题也可以这样做。
　　ax+ay+bx+by
　　=x(a+b)+y(a+b)
　　=(a+b)(x+y)
【十字相乘法】
　　这种方法有两种情况。
　　①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
　　例：x2-2x-8
　　=(x-4)(x+2)
　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
　　如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．
　　图示如下：
　　a╲╱c
　　b╱╲d
　　例如：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3
　　因为
　　7．2
　　1．-3
　　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，
　　所以=(7x+2)(x-3)．
【配方法】
　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
　　例如：x^2+3x-40
　　=x^2+3x+2.25-42.25
　　=(x+1.5)^2-(6.5)^2
　　=(x+8)(x-5)．

【多项式因式分解的一般步骤】
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”
　　几道例题
　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
　　3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．
　　∵a、b、c是△ABC的三条边，
　　∴a+2b+c>0．
　　∴a－c=0，
　　即a=c，△ABC为等腰三角形。
　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．