Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD,AB=4. （1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小

（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小（2）求PC+PD最小值
必须要用两种方法证明！谢谢，在线等

Answer 1

∵CD=2AD    AD=AD′

∴DD′=DC

∴∠1=∠2

∵∠4=∠5=90°

∴AD‖BC  

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∵∠C=60°

∴∠2=∠3=30°

又∵∠4=90°

∴CP=2BP（在直角三角形内 30度所对的边是斜边的一半）

同理 ∵∠1=∠2=30°

∠D′AP=90°

∴D′P=2AP

又∵AP+BP=4

∴D′P+CP=2AP+2BP=2（AP+BP）=2×4=8

这以上想出来容易 我是个菜鸟打出来可费了我很长时间啊 哎以后再也不打了

Answer 2

①证明：连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE
∵AB=AD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
又∵∠BCD=120°CE=CD，
∴∠DCE=180°-∠BCD=60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=∠ADB=60°，DC=DE，
∴∠ADC=∠BDE，
∴△ACD≌△BDE，
∴AC=BE=BC+CE，
即AC=BC+CD．
②把线段AP绕点A逆时针旋转60度，到AQ．连接AC、BP，
∴AP=AQ，△APQ为正三角形，
∴∠QAP=60°，QP=AP，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC，即∠QAC=∠PAB，
△ABP≌△ACQ（SAS），
PB=QC=PA+PC，
在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD．

Answer 3

1、作D点关于AB的对称点F（即延长DA到F，使AF=AD），连接CF交AB于P。

则PD+PC=PF+PC=CF。

2、作DE垂直BC于E，DH垂直CF于H，

　　证三角形DHF及DHC与CED全等可得HF=HC=DE=AB

CF=8