Question

大学高数

用定义证明：lim( x²－1）／(x²－X)=2
x→1

Answer 1

用定义证明lim( x²－1）／(x²－X)=2：
x→1
对于任给的ε>0，因为 x→1，所以可以限制 1/2<x<3/2，即|x-1|<1/2，
则|( x²－1）／(x²－x ) -2|=（化简）= |x-1| /x <|x-1| /(1/2) = 2 |x-1|，
故存在δ= min{1/2,ε/2}，当|x-1|<δ时，成立|( x²－1）／(x²－x ) -2|<2 |x-1|<ε。证毕。

追问

看不明白，可以不那么复杂，直接化简成0<x-X<δ 这公式么，限制的方法平时都不会用
|x-1| /x <|x-1| /(1/2) 这里不明白，感觉应该是 |x-1| /x <（1/2)/X 的吧

追答

这个题目的复杂性就在于我们无法直接化简成00，因为 x->1，所以可以限制1/2<x<3/2，即|x-1|<1/2，
则|(x-2)(x-1)/(x-3)-0|=|x-2| |x-1| /|x-3| = (2-x) |x-1| /(3-x) < (2-1/2) |x-1| /(3-3/2) = |x-1| ，
故存在δ=min{1/2，ε}，当|x-1|<δ时，成立|(x-2)(x-1)/(x-3)-0| < |x-1| <ε。证毕。

本证明题的关键是需要去掉|x-2|和|x-3|中的x，即需要把这两个变化着的绝对值定量化，
方法是，合理地把x 限制在1的附近：1/2<x<3/2。”