Question

图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点 我在线等 复制的一边玩去

图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．
（1）求AC的长；
（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

1.直接用余弦定理求得AC=√(28)=2√(7)
2.△ABP∽△BCE∽△PAE,
则∠APB=∠PAE,
△APE中AE=PE,
那么BE=CE,AC=BP=2√(7),
△APB中,∠PAB=180°-60°=120°，由余弦定理，得：BP^2=4^2+X^2-2*4*X*cos120°=28
解这个方程，得到X=2或X=-6(舍去）
3.△ABE是等腰三角形有两种情形：
1)AB=BE=4，则BE/BC=PE/PA=(BE+PE)/(BC+AP)=BP/(BC+AP)
,代入数据并化简，得方程5X^2-12X=0，X=0(舍去)，或X=2.4
2)AE=BE,此时令BP交CD与点F，则BF=AC，
代入数据并化简，得方程X^2+18X+72=0，X=-6（舍去），X=-12（舍去）。这说明这样的情形不存在。
综合以上，X=2.4

Answer 2

1）过A作AF⊥BC于D,因为∠B=60°，AB=4，所以BF=2，AF=2根号3
因为BC=AD=6，所以FC=4，又因为AF=2根号3，所以AC=2根号7

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/331776854.html

Answer 4

（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ （1分）
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴ 即
解得 （不合题意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）1°当AE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （2分）
2°当BE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （2分）
2°当BE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （不合题意，舍去）（2分）
3°在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵ 在线段FC上截取FH=AF
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE（1分）
综上所述，当△ABE是等腰三角形时， 或

Answer 5

解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4× = BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴ （1分）
（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ （1分）
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴ 即
解得 （不合题意，舍去）
∴x=8（1分）（3）1°当AE=AB=4时
∵AP∥BC∴即 解得 （2分）
2°当BE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （不合题意，舍去）（2分）
3°在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵ 在线段FC上截取FH=AF
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE（1分）

Answer 6