Question

已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.

已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的 13？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）、把A、B带入抛物线，解得b=-4，c=3
所以y=x^2-4x+3;对称轴为X=2
（2）、由y=x^2-4x+3可得
C(0,3);D(2，-1) 因为B（3，0）
所以OB=OC即△0BC为等腰直角三角形，且∠DBO=45°
又因为OE⊥BC，E的横坐标为2，所以E（2,2）且∠EOB=45°
所以EB=根号5，OD=根号5。。DB∥OB
所以四边形ODBE是等腰梯形
（3）、S梯形ODBE=S△OBE+S△OBD=4.5
所以S△OBQ=1.5
又因为OB=3，所以OB边上的高=1即Q点纵坐标的绝对值等于1
这样的点存在有3个Q1（2，-1）Q2(2-√2,1)Q3（2+√2,1）

Answer 2