Question

初二数学题，求大家帮忙...

已知：三角形ABC中,角A=90°,AB=AC=1，D为BC的中点.
1）如图，E为AB上一点，作DF⊥DE交AC于E，则三角形DEF为等腰直角三角形，请说明理由；
2）求四边形AEDF的面积。
3)四边形AEDF的周长是否定值？如果是，请求出来；如果不是，请说明理由。
求大家帮帮忙啊，如果对的话可以提高悬赏~~

Answer 1

解：（1）连AD
∵D为等腰Rt△ABC底边中点
∴AD⊥BC且平分∠BAC（三线合一）
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°
∴△ADC和△ADB为等腰Rt△
∴AD=DC
∵DE⊥AB
∴DE平分∠ADB，所以∠ADE=45°=∠BDE
在△ADE和△CFD中：
∠BAD=∠C=45°
AD=CD
∠ADE=∠CDF=45°
∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴ED=EF
又∠EDF=90°，∴三角形EDF为等腰Rt三角形
（2）∵△ADE≌△CDF
∴S四边形AEDF=S△ADC=AD*DC/2
在Rt三角形ADC中有勾股定理得：
AD方+DC方=AC方=1
∴AD=DC=√2/2，∴S=（√2/2）方/2=0.25
如果初二没学勾股那就中位线
∵E,D为AB,CB中点
所以ED为三角形ABC中位线=0.5
∴FD=ED=0.5
又∵△ADE≌△CDF，所以∠AED=∠DFC=90°
所以S=1*0.5/2=0.25
（3）是定值
∵ED=FD,∠EDF=∠AED=∠A
∴四边形AEDF为正方形
∴AE=ED=FD=AE=0.5
∴周长为定值为2

追问

虽然前面两小题都对了，但是第三小题错了。今天老师讲了，说这个不是定值，因为点到线段的垂直距离最短，所以DE和DF会发生变化，周长变了。不过你还是好厉害...

追答

好吧。。真抱歉。。毕竟是很久之前作的题了。。

追问

你们以前也做到过吗？我还以为就我们学校的老师编的，看样子高估他了...

Answer 2

连接AD,<B=<C=45;AD垂直与BC;。。。所以AD=DC=2开根号的一半;

Answer 3

1111

Answer 4

1,是等腰直角三角形，过D电做AB，AC的垂线，交点为M，，证明三角形DME全等于三角形DNF，就可以得到DE＝DF
2.四边形面积等于四分子一
3,四边形AEDF的周长不是定值，因为E点的位置不定，DE，DF的长就不定，DE，DF的长度的变化范围是二分之一到二分之根号二，当E点是AB的四等分点时周长就不是2了，而是一加二分之根号五

追问

谢谢你的帮忙~

Answer 5

1)角A=90°,DF⊥DE,==>AEDF四点共圆，连结AD，可证∠B=∠BAD=45度
圆上两圆周角∠EAD、∠EFD共弦，==>∠EFD=∠EAD=45度
DF⊥DE==>∠DEF=45度=∠EFD
DE=DF
2)、3)楼上的已有答案