Question

高一数学对数题目

已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x，都有f(x)≥2x，求实数a*b的值。谢谢

Answer 1

由f(-1)=-2得，1-lg(a+2)+lgb=-2 (1)
因为对一切实数x，都有 f(x)>=2x，
所以，x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb>=0恒成立，即方程x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb=0至多有一个根
因此，△=[lg(a+2)-2]^2-4lgb<=0， （2）
由（1）得lg(a+2)=3+lgb代入（2）得
（lgb）^2-2×lgb+1=(lgb-1)^2<=0
所以，lgb-1=0，即lgb=1，于是b=10
代入（1）解得a=10^4-2
所以a*b=99980

Answer 2

由已知，1-lg(a+2)+lgb=-2 (1)
因为对一切实数x，都有 f(x)>=2x，
所以，x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb>=0恒成立，
因此，[lg(a+2)-2]^2-4lgb<=0， （2）

追问

a*b的值呢？
为什么lg(a+2)-2]^2-4lgb<=0呢？谢谢

Answer 3

令F(x)=f(x)-2x;则有F(x)>=0恒成立。对F(x)求导，得F（x）=2*x+lg(a+2),知F（x）在某点之前递减，某点之后递增，（有最小值）又F（-1）=-2-2*（-1）=0，且F（x）>=0.知（-1，0）为F（x）最小值点，即F'(-1)=-2+lg(a+2)=0,得a=98；f（-1）=-2；得b=0.1；

Answer 4

先代入f(-1)=-2,可以得到a,b的一个关系式。lg(b/a+2)=-3,即为 ：1000b=a+2 ①

再设lgb=t,,那么lg(a+2)=lg(1000b)=3+t②
由于f(x)≥2x,对于任意的实数x都成立，我们看这是一个一元二次方程，可以化简下：
x^2+(3+t)x+t≥2x 为 x^2+(1+t)x+t≥0要使它恒成立，我们知道需要让这个函数的Δ≤0,这样这个开口向上的函数才不会与X轴有交点。有
Δ=(1+t)^2-4t≤0 即 (t-1)^2≤0但是这个一关于t的函数只可能与X轴有一个交点，要使它恒小于等于0我们只有让它为0才可能。所以t=1也就是 lgb=1 b=10
a+2=1000*b=10000 a=9998
a*b=99980