Question

已知向量m=(√3sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数f(x)=mn, （1）求最小正周期与单调递减

已知向量m=(√3sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数f(x)=mn,
（1）求最小正周期与单调递减区间。
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f(A)=4，b=1，△ABC的面积为
√3/2，求a的值

Answer 1

解：
(1)
∵向量m=((√3)sin(2x)+2，cosx)，向量n=(1，2cosx)
∴f(x)
=向量m•向量n
=((√3)sin(2x)+2，cosx)•向量n=(1，2cosx)
=(√3)sin(2x)+2+2(cosx)^2
=(√3)sin(2x)+cos(2x)+3
=2sin(2x+π/6)+3
则最小正周期T=2π/2=π.
令π/2+2kπ≤2x+π/6≤3π/2+2kπ，得：π/6+kπ≤x≤2π/3+kπ(k∈Z)
则单调减区间为[π/6+kπ，2π/3+kπ](k∈Z).
(2)
∵f(x)=2sin(2x+π/6)+3
∴f(A)=2sin(2A+π/6)+3
∵f(A)=4
∴2sin(2A+π/6)+3=4
∴2sin(2A+π/6)=1
∴sin(2A+π/6)=1/2
∴2A+π/6=π/6或2A+π/6=5π/6
∵在△ABC中，A≠0
∴2A+π/6≠π/6
∴2A+π/6=5π/6
∴2A=2π/3
∴A=π/3
∴sinA=(√3)2，cosA=1/2
∵b=1
∴S△ABC=(1/2)bcsinA=[(√3)/4]c
∵S△ABC=(√3)/2
∴[(√3)/4]c=(√3)/2
∴c=2
∴a=√(b^2+c^2-2bccosA)=√(1^2+2^2-2×1×2×1/2)=√3.
(最后一步是余弦定理)

Answer 2

（1）f(x) =m*n=(√3sin2x+2,cosx)*(1,2cosx)
=√3sin2x+2+2(cosx)^2
=√3sin2x+2*(1+cos2x)/2+2
=√3sin2x+cos2x)+3
=2sin(2x+π/6)+3
所以最小正周期为π
单调递减区间为[π/6+kπ，2π/3+kπ]
（2）f(A)=2sin(2A+π/6)+3=4, sin(2A+π/6)=1/2
所以，2A+π/6=2kπ+π/6或2A+π/6=2kπ+5π/6
即，A=kπ，或者，A=kπ+π/3，因为0<A<π，所以A=π/3
根据正弦定理，得S△ABC=1/2*bc*sinA=√3/2，所以得c=2
根据余弦定理，得a^2=b^2+c^2-2bcsinA=1+4-2*1*2*(1/2)=3，所以a=√3