Question

数列 lim n趋于+∞ 1+1/2+1/4...+1/2^n / 1+1/3+1/9...+1/3^n 这个数列的极限是多少，要解得过程谢谢了阿

还有个 lim n→+∞ （2n+1)^4-(n-1)^n / (n+5)^4+(3n+1)^4

Answer 1

1.求极限 n→+∞lim[(1+1/2+1/4...+1/2ⁿ) / (1+1/3+1/9...+1/3ⁿ)]
解：右边分子是首项为1，公比为1/2的等比数列；分母是首项为1，公比为1/3的等比数列；故：
原式=n→+∞lim[2(1-2ⁿ)/(3/2)(1-1/3ⁿ)]=2/(3/2)=4/3.
2。求极限 n→+∞lim[ (2n+1)⁴-(n-1)ⁿ] / [(n+5)⁴+(3n+1)⁴]
解：原式= n→+∞lim{(2n+1)⁴/[(n+5)⁴+(3n+1)⁴]-(n-1)ⁿ/[(n+5)⁴+(3n+1)⁴]}
=n→+∞lim(2n)⁴/[n⁴+(3n)⁴]- {n→+∞lim(n-1)ⁿ/[(n+5)⁴+(3n+1)⁴]}
=16/82-{n→+∞lim[nⁿ/(n⁴+81n⁴)}=8/41-{n→+∞lim[nⁿֿ⁴/82]}=-∞
如果原题分母上的两项有一项的指数不是4，而是n，那么结果就不一样了！
n→+∞lim[ (2n+1)⁴-(n-1)ⁿ] / [(n+5)⁴+(3n+1)ⁿ]
=n→+∞lim(16n⁴-nⁿ)/[n⁴+(3n)ⁿ]=n→+∞lim(16-nⁿֿ⁴)/(1+3ⁿnⁿֿ⁴)
=n→+∞lim[(16/nⁿֿ⁴)-1]/[(1/nⁿֿ⁴)+3ⁿ]=0

Answer 2

lim n趋于+∞ 1+1/2+1/4...+1/2^n / 1+1/3+1/9...+1/3^n
=limn趋于+∞ 1+1/2+1/4...+1/2^n+ lim n趋于+∞1+1/3+1/9...+1/3^n
=lim1/(1-1/2)+lim1/(1-1/3)
=2+3/2
=7/2