Question

二元函数在某点连续，则这点的偏导数一定存在吗

Answer 1

不一定！

1、二元函数的两个独立自变量independent variables，
可以看成是抽象的三维空间中的两个维度；函数值可以
看成是第三个维度。由此而形成的图形，完全类似于平常
三维空间的立体图形。

2、以正方体为例，六个面的面内，都是连续的，12各棱也是
连续的，但是在任何一个棱而言，沿着棱的方向是可能可
导，也可能不可导。沿着水平面即可导；垂直于水平面即
不可导。整体而言，棱上是不可以求导的。而8个顶点，
更是不可导的点，而所有面上、体内的点都是连续的。

3、对于多元函数而言，任何导数都是偏导：
沿着坐标轴的方向是偏导，沿着任意方向是方向导数，还是
偏导，是沿着特殊方向的偏导，不过写出来的形式是全导符号
形式，含义却是偏导性质。

Answer 2

连续是沿这点的所有方向的极限都趋于这点的函数值，对于二元函数偏导数仅仅是沿坐标方向的导数存在。无论一元函数还是二元函数连续是推不出可导的。
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Answer 3

不是的，参考圆锥面。

Answer 4

对多元函数而言，连续与可偏导无任何关系