计算∫∫√（x²+y²）dxdy，其中D是由圆周x²+y²=1围成的封闭区域
使用极坐标来解：
令x=r *cosa，y=r *sina
D为x²+y²=2x与x轴围成
即r² < 2r *cosa，得到0<r< 2cosa
而a的范围是 -π/2到π/2
所以原积分=∫∫ r *r dr da
=∫ 1/3 *(2cosa)^3 da
=∫ 8/3 *(cosa)^2 d(sina)
=∫ 8/3 -8/3 *(sina)^2 d(sina)
= 8/3(sina) -8/9 *(sina)^3 代入sina的上下限1和 -1
=16/3 -16/9 =32/9
扩展资料：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数 
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式：
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。
为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。
使用极坐标来解：
令x=r *cosa，y=r *sina
D为x²+y²=2x与x轴围成
即r² < 2r *cosa，得到0<r< 2cosa
而a的范围是 -π/2到π/2
所以原积分=∫∫ r *r dr da
=∫ 1/3 *(2cosa)^3 da
=∫ 8/3 *(cosa)^2 d(sina)
=∫ 8/3 -8/3 *(sina)^2 d(sina)
= 8/3(sina) -8/9 *(sina)^3 代入sina的上下限1和 -1
=16/3 -16/9 =32/9
扩展资料
极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
圆
在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为
ρ=2rcos（θ-φ）
另：圆心M(ρ',θ') 半径r 的圆的极坐标方程为:
(ρ')2+ρ2-2ρρ'cos(θ-θ')=r2
根据余弦定理可推得。
转换成极坐标。
ds选用r至r+dr之间的圆环，更加简单：
ds=2πrdr
=∫（0,1）r.2πrdr=2π∫（0,1）r²dr=（2π/3）r³|（0,1）=2π/3
令x=r *cosa，y=r *sina
D为x²+y²=2x与x轴围成
即r² < 2r *cosa，得到0<r< 2cosa
而a的范围是 -π/2到π/2
所以原积分=∫∫ r *r dr da
=∫ 1/3 *(2cosa)^3 da
=∫ 8/3 *(cosa)^2 d(sina)
=∫ 8/3 -8/3 *(sina)^2 d(sina)
= 8/3(sina) -8/9 *(sina)^3 代入sina的上下限1和 -1
=16/3 -16/9 =32/9
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