Question

1.三角形ABC中,sinA+sinB+sinC<=(3根号3)/2.

Answer 1

解析几何的证:法设A<=B<=C,做出y=Sinx在[0,pi]之间图象构造三角形E(A,SinA) F(B,SinB) G(C,SinC) 则三角形重心G坐标为((A+B+C)/3,(SinA+SinB+SinC)/3),由于G在图象下方有(SinA+SinB+SinC)/3<=Sin((A+B+C)/3),SinA+SinB+SinC<=3根3/2 得证参考资料:"http://www.chunyun.net/cy_bbs/printpage.asp?BoardID=19&ID=2958"。(2)凸函数性质(f(x1)+...+f(xn))/n<=f((x1+..+xn)/n).令f(x)=sinx,f'(x)=cosx在[0,Pi]为减函数,f(x)为凸函数,f(A)+f(B)+f(C)<=3f((A+B+C)/3)=3根3/2。此题超值。