Question

一道数学题目(各位哥哥姐姐帮帮忙)

三角形ABC中AB=5,BC=4,AC=3,PQ//AB.P点在AC上(与点A,C不重合),Q点在BC上.
当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求PC的长?
当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求PC的长?
在AB上取一点M,使得三角形PMQ是等腰直角三角形,求PQ的长?

Answer 1

1.相似三角形，面积比等于相似比的平方，
∵S△PQC=S四边形PABQ
∴S△PQC:S△ABC=1:2
∵PQ‖AB
∴△CPQ∽△CAB
∴PQ:AB=√S△PQC:√S△ABC=1:√2
∴PQ=5√2/2

2.
∵△CPQ∽△CAB
∴PC:QC:PQ=AC:BC:AB=4:3:5
设PC=4a,QC=3a,PQ=5a
则AP=4-4a,BQ=3-3a
∵三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
∴PC+QC+PQ=AP+PQ+QB+AB
4a+3a=4-4a+3-3a+5
a=6/7
∴PQ=5a=30/7

3.
当∠PQM=90°时（自己画图）
过P作PN⊥AB于N
设PQ=QM=PN=MN=a
∠QMB=∠ANP=90°
∠B=90°-∠A=∠APN
∴△MQB∽△NAP∽△CAB
∴AN:PN=AC:BC,BM:QM=BC:BC
∴MB=3/4a,AN=4/3a
∵AB=AN+NM+MB
∴3/4a+4/3a+a=5
∴PQ=a=60/37

当∠QPM=90°时
同理有PQ=60/37

当∠PMQ=90°时
过P作PN⊥AB于N,过Q作QR⊥AB于R,过M作MS⊥PQ于S
设PN=QR=a
则PQ=MN=2a（这个结论显而易见，我就直接写上了，你考试的时候最好再简证一下，不然碰上变态的老师就该扣分了）
类似前两种情况可得△RQB∽△NAP∽△CAB（这个最好也简证一下，不写的话问题可能也不是很大）
∴RB=3/4a,AN=4/3a
∵AB=AN+NM+MB
∴3/4a+4/3a+2a=5
∴a=60/49
∴PQ=2a=120/49

三种情况全部证完