Question

复变函数问题，求高手解答

一个习题里面有这样的：
....
w=y^3-3yx^2+i(x^3-3xy^3+c)
化为
w=f(z)=i(z^3+c)
请问是怎么化出来的？
w=y^3-3yx^2+i(x^3-3xy^2+c)
打错了 不好意思

Answer 1

这里的z=x+iy
你可以用逆推法
f(z)=i(z^3+c)中 将z=x+iy带入
然后括号展开，不要合并同类项，然后和w=y^3-3yx^2+i(x^3-3xy^2+c)进行比较
你就可以知道如何添项来化成f(z)的形式了。

追问

~

Answer 2

这应该有个前提条件是 z = x + iy 吧

w = y^3-3yx^2+i(x^3-3xy^3+c) = y^3 - 3(ix)y^2 + 3(ix)^2 y - (ix)^3 + ic
= (y - ix)^3 + ic = (-i(x + iy))^3 + ic = (-iz)^3 + ic
= iz^3 + ic = i(z^3 + c)

追问

懂了！高手啊~
您可以教下我
w=0.5ln(x^2+y^2)+c+iarctan(y/x)
怎么化成w=f(z)=lnz+c
吗？

追答

这个题你要先了解复数的另一种表示方法，模和幅角
z = x + iy 的模是 √(x^2 + y^2) 幅角的正切值是y/x
表示出来是z = √(x^2 + y^2) e^(iarctan(y/x))
这样题目就很显然了
w = 1/2 ln(x^2+y^2)+c+iarctan(y/x)
= ln √(x^2+y^2) + ln e^(iarctan(y/x)) + c
= ln √(x^2 + y^2) e^(iarctan(y/x)) +c
= ln z + c

追问

嗯嗯 你给出之前我已经弄懂了，我是忘记了Lnz的公式了
谢谢你！