Question

求lim(x→0）[(x+1)/(2x+1)]^（1/x）

Answer 1

需要添加对数，ln [(x+1)/(2x+1)]^(1/x) = ( ln[(x+1)/(2x+1)] ) / x
这样x->0时，上线两部分都->0， 应用洛毕达法则对上下分别求导
得到结果是 -1 / (x+1)(2x+1) 再代入x->0得到极限值是-1
由于添加了对数ln，所以原式的极限是e^(-1) = 1/e

Answer 2

[(x+1)/(2x+1)]^（1/x）
=exp((ln(x+1)/(2x+1))/x)
=exp((ln(x+1)-ln(2x+1))/x)
=exp(1/(x+1)-2/(2x+1)) 洛必达法则
=exp(-1/(x+1)(2x+1))
=1/e

Answer 3

令x=1/n,n-->∞
lim(x→0）[(x+1)/(2x+1)]^（1/x）
=lim(n→∞）[(n+1)/(n+2)]^n
=lim[1-1/(n+2)]^n
=lim(1-1/n)^n
=e^(-1)