Question

已知函数f(x)=[ln(1+x)]/x

确定f(x)在(0,1)上的单调性

Answer 1

f'(x)=[x/(x+1)-ln(x+1)]/x^2=[x-(x+1)ln(x+1)]/(x+1)x^2
因为x属于(0,1)，所以分母(x+1)x^2>0，只需判断分子的符号即可；
令g(x)=x-(x+1)ln(x+1)，则g'(x)=1-ln(x+1)-1=-ln(x+1)，
因为x属于(0,1)，所以x+1>1，则ln(x+1)>0，所以g'(x)<0；
所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，
则g(x)<g(0)，g(0)=0-ln1=0
所以：g(x)<0
即f'(x)=[x-(x+1)ln(x+1)]/(x+1)x^2，分子(x+1)ln(x+1)<0，又分母(x+1)x^2>0；
所以：当x属于(0,1)时，f'(x)<0；
所以，f(x)在(0,1)上单调递减；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！