Question

高一数学，谢谢！

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Answer 1

1. 过 点 M 作一条辅助直线 ME//PA 交直线 AB 于 E 点。 连接 NE。

   所以，在△BME 和 △BPA 中，BE:EA = BP:MP = 1：2（相似三角形的性质）

   在△AEN 和 △ABC 中，BE:EA = CN:NA = 1：2

   所以，CN//BC//AD（相似三角形的性质）

   因此，平面 AEN // 平面PAD （一个平面内两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行）

   所以，MN//面PAD

2. 因为 MN//面 PAD，那么 N 点到面 PAD 的距离就等于 M 点到面 PAD 的距离。

   过 M 点作一条辅助线 MG⊥PA

   因为 面PAB⊥面ABCD，BA⊥AD，所以，AD⊥面 PAB

   那么，AD⊥MG （平面的垂线与平面内任何一条直线都垂直）

   又因为 MG⊥PA，MG⊥AD

   所以，MG⊥面PAD（平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么，这条直线垂直于这个平面）

   因此，MG 就是点 M 到平面 PAD 的距离

   在等边三角形PAB内，MG = 2/3 * PA 边上的高 = 2/3 * 3 * (√3/2) =√3

Answer 2

思路比较简单，不再绘图。
(1)在AB上作点E，使AE＝2EB，于是有：ME//PA，NE//BC//AD⇒面MNE//面PAD
⇒MN//面PAD
(2)根据比例关系，N到PAD的距离＝2/3 C到PAD的距离，而C到PAD的距离就是三棱锥C-PAD的高h，可以利用体积来计算，先作PH⊥AB，有PH＝3√3/2。
三棱锥C-PAD的体积：
V(C-PAD)＝V(P-ABCD)/2＝9√3/4
＝S(PAD)*h/3
＝3*3/2 *h/3
⇒h＝3√3/2
于是所求距离＝2h/3＝√3

追答

方法二：
过E作PA的垂线EH，容易证明EH⊥面PAD，于是EH就是所求距离。
解三角形可计算到EH＝2/3 PH＝√3