Question

几道高一数学题 完整过程！！！拜托了。。。。

1、设函数f(x)=x+a\x平方+1为奇函数，则实数a为多少？
2、试判断函数y=x\x平方+1在区间（0,1）上的单调性，并证明
3、已知函数f(X)是定义在R上的偶函数。当x∈（-∞，0]时，f(x)=2x-x平方，
（1）求f(x)的解析式（2）画出函数f(x)的图像（3）写出函数的单调区间（4）求f(x)的值域

Answer 1

1 f(-x)=(-x+a)/x^2+1
-f(x)=(-x-a)/x^2+1
函数f(x)=x+a\x平方+1为奇函数
所以f(-x)=-f(x)
(-x+a)/x^2+1=(-x-a)/x^2+1
a=-a a=0
2 对y求导=1*(x^2+1)-x*2x / (x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2
因为0<x<1 所以
(1-x^2)/(x^2+1)^2>0
所以在（0，1）单增
3 f(x)=2x-x^2
f(X)是定义在R上的偶函数
所以当x>0时 -x<0
f(x)=f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x-x^2
所以f(x)的解析式为 当x>=0时，f(x)=-2x-x^2
当x<0时，f(x)=2x-x^2

图像分两部分 右边是-2x-x^2 左边是2x-x^2
是两个半截的抛物线连在一起

当x>0时 f(x)的导为 -2-2x=0 x=-1
所以当x>0 f(x)<0 为减
当x<0时 f(x)的导为 2-2x=0 x=1
所以当x<0 为增
所以在x>0时减 在x<0时增

当x=0时 f(x)=0
因为在x>0时为减 f(x)<0
在x<0时为增 f(x)<0
所以f(x)的值域为（负无穷，0）

追问

我们还没学导数。。。 能不能用别的方法做呢？谢了啊

追答

可以 用定义法
0=0时，f(x)=-2x-x^2
f(x1)-f(x2)=-2(x1-x2)-(x1^2-x2^2)=(-2-x1-x2)(x1-x2)>0
所以是减

追问

第二题呢？。。。。。。。。。

追答

2 0<x1<x2<1
y=x1\（x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
=x1(x2^2+1)-x2(x1^2+1)/(x1^2+1)(x2^2+1)=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
=(x1x2-1)(x2-x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)<0
s所以是增