Question

求高阶常系数非齐次线性微分方程时如何设置特解方程 如果题目是f(x)等于fn(x)的关于x的一个n次多项式,

那么该怎么设置特解?我看有的题目解答设Ax方+Bx+C,有的答案设Ax+B 算出来的答案好像都不一样

Answer 1

f(x) = Pn(x) ( x 的一个n次多项式)
考虑 0 是否是该微分方程的特征根，
(1) 0不是特征根， 设 y * = Qn(x) ( x 的一个n次多项式)
(2) 0是 1 重特征根， 设 y * = x * Qn(x)
(3) 0是 k 重特征根， 设 y * = x^k * Qn(x)

追问

哦 我明白你说的什么意思了 刚才一下子没看太懂 还有就我补充问题里面的那个设的不同算的结果不同是咋回事啊

追答

例如： 特征方程 r (r-1)³ (r+5)² = 0
则 r1 = 0 是1 重特征根；r2 = 1 是 3 重特征根；r3= -5 是 2 重特征根。

当 0是1 重特征根时，设 y * = x * Qn(x)， 或者设 y * = Q(n+1)(x) 结果相同。

追问

Qn(x)是指什么啊? 为什么有的答案设置Ax方+Bx+C,有的答案设Ax+B

追答

Qn(x) 是x 的n次多项式，Q(n+1)(x) 是x 的n+1次多项式

追问

再问一个啊 为什么有的答案设置Ax方+Bx+C 有的答案设Ax+B

追答

对于不同的题目，
设 y * = Ax²+Bx+C, 因为自由项 f(x) 是 2次多项式；
设 y * = Ax+B ， 因为自由项 f(x) 是1次多项式.
是与自由项 Pn(x) 的次数 n 对应的。

Answer 2

高数都忘了