Question

设m为有理数，是否存在实数k，使方程X^2-4mX+4X+3m^2-2m+4k=0根是有理数

每一步为什么这么做，都要写清楚，比如为什么要凑成平方数？

Answer 1

解：
x^2-4mx+4x+3m^2-2m+4k=0
x^2+(4-4m)x+(3m^2-2m+4k)=0
方程要有根，则
Δ=（4-4m)^2-4(3m^2-2m+4k)≥0
4m^2-24m+(16-16k)≥0
m^2-6m+4(1-k)≥0
∵一元二次方程ax^2+bx+c=0的根为x=(-b±√Δ)/2a
∴若方程x^2-4mx+4x+3m^2-2m+4k=0根是有理数，则Δ必须是完全平方数
而 Δ=m^2-6m+4(1-k）=m^2-6m+9-9+4(1-k)
=(m-3)^2 -5-4k
∴只有当-5-4k=0，即k= -5/4时，Δ才是完全平方数
∴k= -5/4时，方程X^2-4mX+4X+3m^2-2m+4k=0根是有理数

Answer 2

设m为有理数，是否存在实数k，使方程X²-4mX+4X+3m²-2m+4k=0根是有理数
解：x²-4(m-1)x+3m²-2m+4k=0
设其二根为x₁和x₂，因为x₁和x₂都是有理数，故其判别式Δ=16(m-1)²-4(3m²-2m+4k)
=4m²-24m+16-16k=4(m²-6m+4-4k)必是完全平方数，故有：
Δ=4(m²-6m+4-4k)=4[(m-3)²-5-4k]=4(m-3)²-20-16k=[2(m-3)]²
即有20+16k=0，故k=-20/16=-5/4，此时原方程变为：
x²-4(m-1)x+3m²-2m-5=0
其二根x={4(m-1)±√[16(m-1)²-4(3m²-2m-5)]}/2={4(m-1)±√[4(m-3)²]}/2=[4(m-1)±2(m-3)]/2
=3m-3或m+1，m是有理数，故3m-3和m+1必然都是有理数。