Question

求极限［1／n^2+1/(n+1)^2+......1/(n+n)^2]

Answer 1

因为e=lim(1+1/n)^n e^x=lim(1+1/n)^xn=lim(1+x/xn)^xn]=lim(1+x/m)^m]

e^(-x)=lim(1-x/n)^n=1/e^x

1.原式>(1-0/n)^n+(1-1/n)^n+......+(1-x/n)+....=e^0+e^-1+e^-2+......+e^-x+...>(1-e^-(x+1))*e/(e-1)

2.(1-m/n)^n<=e^-m (不论m n 的趋限关系，即当m趋近n且m n均趋于无穷时成立)

因此，原式<=e^0+e^-1+e^-2+...+e^-(n-1)=(1-e^-n)*e/(e-1)

根据夹逼定理 1式 2式 的极限均为 e/(e-1) 因此原式极限为 e/(e-1)

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

扩展资料

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

Answer 2

解 因为：
lim［1／n^2+1/(n+1)^2+......1/(n+n)^2]
<lim(1/n^2+1/n^2+。。。+1/n^2)
=limn/n^2
=lim1/n
=0
又lim［1／n^2+1/(n+1)^2+......1/(n+n)^2]
>lim(1/(n+n)^2+1/(n+n)^2+...+1/(n+n)^2)
=limn/4n^2
=lim1/4n
=0
所以 lim［1／n^2+1/(n+1)^2+......1/(n+n)^2]=0