Question

已知数列满足a(n+1)=1/(2-an),a1=a,(1)求a1,a2,a3,a4;(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明

Answer 1

(1)，a2=1/(2-a)，a3=(2-a)/(3-2a)，a4=(3-2a)/(4-3a)；
(2)，猜想数列{an}的通项公式an=[(n-1)-(n-2)a]/[n-(n-1)a]，(a≥2)；
设当n=k时通项公式成立，ak=[(k-1)-(k-2)a]/[k-(k-1)a]，∵a(k+1)=1/(2-ak)，
∴a(k+1)=1/{2-[(k-1)-(k-2)a]/[k-(k-1)a]}=[k-(k-1)a]/[2k-2(k-1)a-(k-1)+(k-2)a]=[k-(k-1)a]/[(k+1)-ak]，当n=k+1时a(k+1)=[k-(k-1)a]/[(k+1)-ak]通项公式成立；则数列{an}的通项公式为：an=[(n-1)-(n-2)a]/[n-(n-1)a]，(a≥2)。

Answer 2

整理等式
2a(n+1)-a(n+1)*a(n)-1=0 .................(1)
由式[a(n+1)-1]*[a(n)-1]=a(n+1)*a(n)-a(n+1)-a(n)+1 ............(2)
整理(1)式

2a(n+1)=a(n+1)*a(n)+1
等式2边同时减去 a(n+1)和a(n)
得到
a(n+1)-a(n)=a(n+1)*a(n)-a(n+1)-a(n)+1 .........................(3)
等式2边同时除以 [a(n+1)-1]*[a(n)-1]
得到
[a(n+1)-a(n)]/{[a(n+1)-1]*[a(n)-1]}=1 ..........................(4)
变形上式
[a(n+1)-1-a(n)+1]/[a(n+1)*a(n)]=1
得到
1/[a(n)-1]-1/[a(n+1)-1]=1
1/[a(n+1)-1]=1/[a(n)-1]-1
1/[a(n+1)-1]=1/[a(n-1)]-2
...
...
1/[a(n+1)-1]=1/[a(1)-1]-n
=1/(a-1)-n