Question

设x1>0,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）（n=1,2,3....n），证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值

Answer 1

因为xn=1/2(x(n-1)+1/x(n-1))>=1/2*2=1
x(n+1)-xn=1/2(1/xn - xn)<0
所以是单调递减数列
因为xn>1
所以是单调有界数列
所以极限存在
设极限是a
那么a=1/2(a+1/a)
a=1或a=-1(因为xn为正向数列，舍去)
a=1

Answer 2

x（n+1）=1/2*(xn+1/xn)>=1/2*2=1 xn=1时取等号
即xn是大于等于1的数
2（X（n+1）-Xn）=2X（n+1）-2Xn=Xn+1/Xn-2Xn
=(1-Xn^2)/Xn <=(1-1)/Xn=0
即 Xn是单调递减数列 又是有界数列 则极限存在 且极限就是1