Question

设fx是定义在R上的函数，对任意的X,Y∈R都有F(x+y）=f(x)*f(y),当且仅当x>0时，0<

（1）求证f(0)=1 (2）当时x<0，比较f(x)与1的大小？

Answer 1

（1)
由题意f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)，因为f(1)≠0，所以f(0)=1
（2)
对任意x<0，有 f(0)=f(-x + x)= f(-x)f(x) = 1，
所以 f(x) = 1/f(-x)
因为此时 -x>0，所以 0<f(-x)<1
所以 f(x) = 1/f(-x) > 1

追问

(3)判断函数f（x）在R上的单调性，并证明： （4）设x1 x2∈R，试比较（f（x1）+f（x2））/2与f（（x1+x2）/2）的大小 不好意思，昨天忘打了。

追答

（3）
设x11
f(x1) = f[x2+x1-x2] = f[x2] f[x1-x2]
f[x1]/f[x2]=f[x1-x2]>1
所以f(x1)>f(x2)
所以函数f（x）在R上是减函数。
（4）
f（x1）+f（x2）- 2f（（x1+x2）/2）
= [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2)
=[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0
即 （f（x1）+f（x2））/2 ≥ f（（x1+x2）/2）

追问

第4问是什么啊？

追答

作差比较大小
f（x1）=f（x1/2 + x1/2）= [ f(x1/2) ]^2
f（x2）=f（x2/2 + x2/2）= [ f(x2/2) ]^2
2f（（x1+x2）/2）= 2f(x1/2) f(x1/2)
所以
f（x1）+f（x2）- 2f（（x1+x2）/2）
= [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2)
=[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0
即 （f（x1）+f（x2））/2 ≥ f（（x1+x2）/2）