设fx是定义在R上的函数,对任意的X,Y∈R都有F(x+y)=f(x)*f(y),当且仅当x>0时,0<
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(1)
由题意f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),因为f(1)≠0,所以f(0)=1
(2)
对任意x<0,有 f(0)=f(-x + x)= f(-x)f(x) = 1,
所以 f(x) = 1/f(-x)
因为此时 -x>0,所以 0<f(-x)<1
所以 f(x) = 1/f(-x) > 1
由题意f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),因为f(1)≠0,所以f(0)=1
(2)
对任意x<0,有 f(0)=f(-x + x)= f(-x)f(x) = 1,
所以 f(x) = 1/f(-x)
因为此时 -x>0,所以 0<f(-x)<1
所以 f(x) = 1/f(-x) > 1
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追问
(3)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明: (4)设x1 x2∈R,试比较(f(x1)+f(x2))/2与f((x1+x2)/2)的大小 不好意思,昨天忘打了。
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(3)
设x11
f(x1) = f[x2+x1-x2] = f[x2] f[x1-x2]
f[x1]/f[x2]=f[x1-x2]>1
所以f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在R上是减函数。
(4)
f(x1)+f(x2)- 2f((x1+x2)/2)
= [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2)
=[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0
即 (f(x1)+f(x2))/2 ≥ f((x1+x2)/2)
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