Question

1+2+3+…=-1/12是怎么算出来的？

我们知道，级数1+2+3+…其实是不收敛的。但当年欧拉确实算出了1+2+3+…=-1/12来。而且按照黎曼函数（解释延拓之后），确实有ζ(-1)=-1/12。
ζ(-1)=-1/12的严谨的证明我懂。但欧拉当年到底是怎么算出1+2+3+…=-1/12来的？
1+2+3+…=-1/12确实是错的。我问的就是这个错误的结论是怎么算出来的。
据说欧拉还算出了：
1^2+2^2+3^2…=0
1^3+2^3+3^3…=1/120
这些式子当然是错的。但有人认为它可作为自然状态下零点振动、真空能量的计算（Lamoreaux,Physical Review Letters,1997年1月）

Answer 1

据我所知Euler的方法按现代化的讲法就是对Zeta函数解析延拓来求的（参见wiki词条Zeta function regularization），只不过当时没有那些观念，只是一种形式推导，不具备任何严格的意义。另外“1+2+3+…=-1/12是错的”这样的讲法本身就是不对的，无限求和有很多种意义，可以说“1+2+3+…=-1/12在经典级数和的意义下是错的”。Euler那个年代分析学才刚刚起步，连经典级数和的定义都并不很明确，当时的数学家更不可能被这种定义所束缚，“1+2+3+…=-1/12”应该解读成Euler认为“把1+2+3+…定义成-1/12比较合理”，因为这可以让某些性质在更大的范围内成立。

追问

Zeta函数解析延拓的方法我已见过，我好奇的是在没有解析延拓的观念时欧拉是怎么搞出来的……

追答

当时的想法很简单，先推导出zeta函数的恒等式，然后强行把定义域外的点代入。这样做显然是不严格的，只不过从现代的观点看可以用解析延拓的理论去弥补，历史上很多东西都是这样来的。

Answer 2

这个显然是错的嘛，除非给等号重新定义，否则这个式子怎么可能成立呢？两边都是数，中间等号，怎么可能成立 ，不管什么传说，反正我是不认为其正确。

Answer 3

那天我能证明出1+1的话 估计这题就不在话下了！

Answer 4

这、、、、、、不太可能啊

Answer 5

好深奥，，，