Question

高等数学，同阶无穷小的比较，这一题怎么作

Answer 1

Answer 2

　　解：分享一种解法。x→0时，用无穷小量替换。e^(tanx)~1+tanx+(1/2)(tanx)^2，e^x~1+x+(1/2)(x)^2，tanx~x+(1/3)x^3，
　　∴e^(tanx)-e^x=tanx+(1/2)(tanx)^2-x-(1/2)(x)^2=(tanx-x)+(1/2)[(x+tanx)(tanx-x)]=(1/3)x^3+(1/6)(x^4)[2+(x^2)/3]=(1/3)x^3+O(x^3)
　　根据同阶无穷小的定义，lim(x→0)[e^(tanx)-e^x]/x^n=常数，而lim(x→0)[e^(tanx)-e^x]/x^n=lim(x→0)[(1/3)x^3]/x^n，∴n=3。供参考。

Answer 3

将ex提出
e^x(e^(tanx-x)-1)
故证明lim（e^x(e^(tanx-x)-1)）/（x^n）
据我的经验
e^(tanx-x)-1就很眼熟
e^x-1~x，很常见的等价无穷小吗
故转为lim（e^x(tanx-x)/（x^n）
x趋于0时，e^x为1，故可以不看他了
剩下 的部分单考虑
lim(tanx-x)/（x^n）
tanx-x又是谁的等价无穷小，实际上式1/3x^3的等价无穷小
要是忘了的话，可以自己推，教你个招
求1次导tanx-x，(secx)^2-1 x趋于1时，肯定还是为0
再求2次，2（secx）^2*tanx，还是为0
求3次导，2(secx)^2+6*(tanx)^2*(secx)^2，这回不为0了，为2
2/3!*x^3就是tanx-x的同阶无穷小。
故lim1/3x^3/（x^n）=M
n等于多少
很显然等于3

追问

不好意思，有个人方法比你简单，回来有事我再找你，多给你财富

追答

不是我的方法麻烦，如果你记得相关知识点的话，连笔都不用动就出结果了，后面的只不过是做题的一点心得与技巧和本题没有太大关系，只不过我感觉讲题，单就一个题来讲，显不出小哥的水平，所以才多说了点。随意吧，我只是在百度知道上找一些题库来练手，朋友有缘江湖再见！