Question

如图，圆O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交圆O于D，点M为△ABC的内心。（1）求证：BC=根2DM。（

(2)若DM=5根号2，AB= 8，求OM的长。

Answer 1

（1）证：连结CD、CM、OD。
∵∠BAC=90° 且AD为角平分线
∴∠BCD=45°。∴∠DCM=45°+0.5∠ACB（CM是角分线） ①
又∵∠CMD=180°-∠AMC=180°-（90°+0.5∠ABC）（这个关于内心的结论应该知道吧）
=90°-0.5∠ABC ②
∵∠ABC+∠ACB=90° ∴45°-0.5∠ABC=0.5∠ACB ③
将③带回①，②，有 ∠DCM=∠CMD ∴CD=DM
∵OD⊥BC（由角分线可得） ∴DM=CD=根号2 R
又 BC=2R 所以BC=根2DM
( 2 )解：DM=5根号2 所以BC=10 ∴AC=6.
过M作MN垂直于BC于N，连结OM。
所以MN=r=（6×8）/（10+8+4）=2，CN=4，BN=6.（也可能CN=6，BN=4）
∵CO=5 ∴ON=1
∴OM方=MN方+ON方 ∴OM=根5

Answer 2

（1）证：连结CD、CM、OD。
∵∠BAC=90° 且AD为角平分线
∴∠BCD=45°。∴∠DCM=45°+0.5∠ACB（CM是角分线） ①
又∵∠CMD=180°-∠AMC=180°-（90°+0.5∠ABC）（这个关于内心的结论应该知道吧）
=90°-0.5∠ABC ②
∵∠ABC+∠ACB=90° ∴45°-0.5∠ABC=0.5∠ACB ③
将③带回①，②，有 ∠DCM=∠CMD ∴CD=DM
∵OD⊥BC（由角分线可得） ∴DM=CD=根号2 R
又 BC=2R 所以BC=根2DM
( 2 )解：DM=5根号2 所以BC=10 ∴AC=6.
过M作MN垂直于BC于N，连结OM。
所以MN=r=（6×8）/（10+8+4）=2，CN=4，BN=6.（也可能CN=6，BN=4）
∵CO=5 ∴ON=1
∴OM方=MN方+ON方 ∴OM=根5