Question

一个数学题。求两圆重叠面积

两圆大小相同，每个圆的面积为“1”
其中一个圆经过另一个圆的中心。求中间两圆重叠部分的面积占圆的多大比例？

Answer 1

两圆大小相同，每个圆的面积为“1”

其中一个圆经过另一个圆的中心。求中间两圆重叠部分的面积占圆的多大比例？

解:设圆的半径为r.

每个圆的面积为“1”

⇒r²=1/π.

如图,

有等量关系:

中间两圆重叠部分的面积=2*(扇形OAA'的面积-△OAA'的面积)

其中

扇形OAA'的圆心角是120° ⇒扇形OAA'的面积=(1/3)圆的面积=(1/3)*1=1/3.

△OAA'的高h=r/2,底AA'=√3r ⇒△OAA'的面积=(1/2)*(√3r )*r/2=√3 r²/4=√3/(4π).

中间两圆重叠部分的面积=2*[1/3-√3/(4π)]=2/3-√3/(2π).

中间两圆重叠部分的面积占圆的比例

=中间两圆重叠部分的面积/圆的面积“1”

=中间两圆重叠部分的面积

=2/3-√3/(2π).

Answer 2

S(扇形OAO')=1/6,R=1/√Pi

S(△OAO')=√3/(4Pi)

S(弓形AmO')=S(扇形OAO')-S(△OAO')

=1/6-√3/(4Pi)

S(阴影)=2[S(扇形OAO')+S(弓形AmO')]

=2[1/6+1/6-√3/(4Pi)]

=2/3-√3/(2Pi)