Question

如何用数学归纳法证明 1/2!+2/3!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)! 谢谢

Answer 1

1.n=1
左=1/2!=1/2
右=1-1/(1+1)!=1-1/2!=1-1/2=1/2
所以n=1成立
2。假设对于n=k成立
则有
1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!=1-1/(k+1)!
3.对于n=k+1
1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!+(k+1)/(k+1+1)!=1-1/(k+1)! +(k+1)/(k+2)!
因为(k+2)!=(k+2)*(k+1)!
通分得到
1-1/(k+1)! +(k+1)/(k+2)!=1-[(k+2)-(k+1)]/(k+2)!=1-1/[(k+1)+1]!
所以对于n=k+1也成立
4.所以对于所有自然数n都成立

Answer 2

首先，n=1时显然成立
因为1/(1+1)! = 1-1/(1+1)!，两边都是1/2
其次，假设为n为k时成立，则有
1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!=1-1/(k+1)!
在这样的假设前提下，考察n=k+1时的情况：
1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!+(k+1)/(k+2)!
= 1-1/(k+1)!+(k+1)/(k+2)!
= 1-(k+2)/(k+2!)+(k+1)/(k+2)!
= 1-1/(k+2)!
所以，在n=k时成立，能够推出n=k+1时耶成立，
综上，该等式成立。

Answer 3

证明：当n=1时，左边=1/2！=1/2=右边
假设n=k时，等号成立
当n=k+1时，左边=1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!+(k+1)/(k+2)!
=1-1/(k+1)!+(k+1)/(k+2)!
=1-[(k+2-k-1)/(k+2)!]
=1-1/(k+2)!
=右边
所以原题得证

Answer 4

证明：
（1）当n=1时，有1/2!=1/2，1-1/(1+1)!=1/2，即1/2!=1-1/(1+1)!。n=1时成立
（2）假设n=k时成立；则1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!=1-1/(k+1)!
当n=k+1时有
1/2!+2/3!+...+k/(k+1)!+(k+1)/[(k+1)+1]!=1-1/(k+1)!+(k+1)/[(k+1)+1]!
=1-[1/(k+1)!-(k+1)/(k+2)!]=1-[(k+2)/(k+2)!-(k+1)/(k+2)!]=1-1/(k+2)!得证
所以，综上所述
1/2!+2/3!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!得证
这只是一个普通的套定义，不用太多的技巧。希望对你有帮助