Question

高中数列的详细题型及解题技巧

Answer 1

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Answer 2

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1
解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法求解。
例:已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即

所以
，
类型2
解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法求解。
例:已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
类型3 （其中p，q均为常数， ）。
例:已知数列 中， ， ，求 .
解法一(归纳法):

解法二（待定系数法）：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 .

解法四(作商法):
令 累加得:
类型4 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再同类型3求解。
例:已知数列 中， , ，求 。
解：在 两边乘以 得：
令 ，则 ,解之得： 所以
类型5
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。
例:设数列 ： ，求 .
解：设 ，将 代入递推式，得

…（1）则 ,又 ，故 代入（1）得
说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之.
类型6 递推公式为 与 的关系式。(或 )
解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 消去 进行求解。
例：已知数列 前n项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 .
解：（1）由 得： 于是
所以 .
（2）应用类型4（ （其中p，q均为常数， ））的方法，上式两边同乘以 得： 由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7 递推公式为 （其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。
例: 已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）:由 ，得 ，且 。则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是 。把 代入，得 ， ， ， 。把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。 , 。又由 ，于是
故
类型8
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。
例：已知数列｛ ｝中， ，求数列
解：由 两边取对数得 ，
令 ，则 ，再利用待定系数法解得： 。
类型9
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。
例：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数： 是等差数列，