Question

求微分方程y''-y'=e^x满足y'(0)=0,y(0)=0的特解

Answer 1

y''-y'=e^x
1. 齐次通解Y:
特征方程r^2-r=0
r1=0,r2=1
Y=c1+c2e^x
2.非齐次特解y*
可设特解形式为
y*=axe^x (因为1是特征方程的单根)
y*'=a(x+1)e^x
y*''=a(x+2)e^x
由y''-y'=e^x,得
a(x+2)-a(x+1)=1
a=1
所以
特解y*=xe^x
通解为y=c1+c2e^x+xe^x
y'=c2e^x+(x+1)e^x
又因为
y'(0)=0,y(0)=0
c1+c2=0
c1+1=0
c1=-1,c2=1
所以特解为:
y=-1+e^x+xe^x