Question

大学概率论与数理统计的两个问题，谢谢！

1.独立性，从定义上讲P(AB)=P(A)P(B)，从实际含义上讲是什么，我理解的是两件事的发生彼此互不影响，井水不犯河水，对吗？但是如何判断有没有关呢？比如说
A=[x1+(x1+x2)/2] ，B=[x2+(x1+x2)/2] ，x1和x2相互独立，那么A和B 是相互独立的吗？
如果不是，那么在样本和抽样分布那一章里的样本均值和样本方差为什么相互独立，它两个不都不都包含 Xi 吗？
如果A和B是相互独立的，那么样本方差里面 ∑(Xi-均值)^2 每项之间也是独立的了，就是说 (X1-均值)^2 这项和 (X2-均值)^2 这项和 (Xn-均值)^2 这项之间均是独立的了？那么为什么样本方差符合自由度为（n-1）的X^2分布而不是自由度为n的X^2分布，哪个条件不符合自由度为n的X^2分布 ?

2. ∑(Xi-均值)^2 = ∑Xi^2-n均值^2 为什么？等号左边怎么得到右边的？

谢谢！

Answer 1

呃，童鞋，你概念理解错了。
P(AB)=P(A)P(B)里，A、B是一个事件；而A=[x1+(x1+x2)/2] ，B=[x2+(x1+x2)/2]里，A、B是两个函数的值。举个例子，如果x1、x2是0-1分布（取值为0或1，P(x1=0)=p1,P(x2=0)=p2），那么A可能取到的值有{0,0.5,1.5,2}四个值，B的取值也是这个。这时，我们可以讨论：

事件a：A=0.5(即x1=0,x2=1)的概率是P(A=0.5)=p1*(1-p2)
事件b：B=1.5(即x1=0,x2=1)的概率是P(B=0.5)=p1*(1-p2)

而事件a和b共同发生的概率是当x1=0,x2=1的时候，其概率也为P(ab)=p1*(1-p2)。
这样我们发现P(ab)不等于P(A=0.5)*P(B=1.5)。a、b不独立。

同理
事件c:B=0的概率是P(c)=p1*p2
事件a、c共同发生是不可能的，即概率为0。
此时P(ac)不等于P(a)*P(c)。

等等等等。。。

记住，我们研究的是事件之间的关系，而非函数。

自由度问题，我引用一个网上的回答：
"样本方差S^2中是X均值是已知的，假设样本容量为n,那么只需知道n-1个样本值即可，剩下的一个样本值由总体均值减去这n-1个样本值得到，故只需n-1个样本值，即服从n-1个自由度"

至于自由度的问题，初学者不太好理解。我建议你先记住，学到后面以后再回头看。如果你是学经济的话，以后会学到计量经济学，里面会讨论自由度的定义。可参考百科：http://baike.baidu.com/view/327514.htm

第二个问题书上肯定有，不行你自己手写一下，很快出来的。开出来
（1）xi项平方和一项，
（2）xi*均值，在求和一项
（3）均值平方一项。

（2）（3）一合并就是答案了。