Question

已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0 a属于R）

若f(x)在【2，+无穷）上是增函数，求a的范围（我不懂什么导函数，可以用增减性或者奇偶性帮我解答么？）谢谢！

Answer 1

、f(x)的表达式不是很清楚，如果f(x)=x^2+（a/x）,f(x)只在a=0时为偶函数，其它情况都没有奇偶性
要判断函数的奇偶性，认为 f(x)=(x^2+a)/x
f(-x)=((-x)^2+a)/(-x)
=-(x^2+a)/x
=-f(x)
所以f(x)为奇函数

2、用函数单调性的定义求解
在[2，+∞）上任取x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(x1^2+a)/x1-(x2^2+a)/x2
=(x1^2x2+ax2-x2^2x1-ax1)/(x1x2)
=(x1x2(x1-x2)-a(x1-x2))/(x1x2)
=(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2)
因为f(x)在[2，+∞）是增函数
(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2)<0
x1x2>4,x1-x2<0
所以(x1x2-a)>0
a<x1x2,
x1>=2,x2>2，x1x2>4
所以 a<=4

Answer 2

设2≤x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=（x1^2+a/x1)--(x2^2+a/x2）＜0
(x1+x2)(x1-x2)+a(x2-x1)/x1x2<0
x1+x2>a/x1x2
a<x1x2(x1+x2)<16
∴a＜16

Answer 3

x^2+a/x=x^2+a/2x+a/2x≧x^2*a/2x*a/2x的立方根×3=（27a²/4）的立方根
（这是均值不等式拓展成3个数的情形）
当且仅当x^2=a/2x时该函数有最小值：（27a²/4）的立方根
.
此时x=a/2的立方根。
令a/2的立方根≦2
得a/2≦2³
a≦16

Answer 4

设2≤x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=（x1^2+a/x1)--(x2^2+a/x2）＜0
(x1+x2)(x1-x2)+a(x2-x1)/x1x2<0
x1+x2>a/x1x2
∴a<x1x2(x1+x2)恒成立
∴a小于x1x2(x1+x2)最小值
∴a<16