Question

一道大一高数题目，关于几阶无穷小的。

当x趋向于无穷大的时候，(√(x+2)-2√(x+1)+√(x))是1/x的几阶无穷小

Answer 1

√(x+2)-2√(x+1)+√(x)
=[√(x+2)-√(x+1)]－[√(x+1)-√(x)]
＝1/[√(x+2)+√(x+1)]－1/[√(x+1)+√(x)]
＝[√(x)-√(x+2)]/[(√(x+2)+√(x+1))(√(x+1)+√(x))]
＝-2/[(√(x+2)+√(x+1))(√(x+1)+√(x))(√(x+2)+√(x))]
＝(1/x)^(3/2)×(-2)/[(√(1+2/x)+√(1+1/x))(√(1+1/x)+1)(√(1+2/x)+1)]
第二部分(-2)/[(√(1+2/x)+√(1+1/x))(√(1+1/x)+1)(√(1+2/x)+1)]在x趋向于无穷大时的极限是-1/4，所以
当x趋向于无穷大的时候，(√(x+2)-2√(x+1)+√(x))是1/x的 3/2 阶无穷小

Answer 2

由泰勒公式, 当x->+∞时
√(x+2)=√x*√(1+2/x)=√x*[1+(1/2)*2/x-1/4*(2/x)^2/2+o(1/x^2)]=√x+1/√x-x^{-3/2}/8+o(x^{-3/2})
2√(x+1)=2√x*√(1+1/x)=2√x*[1+(1/2)*1/x-1/4*(1/x)^2/2+o(1/x^2)]=2√x+1/√x-(1/4)*x^{-3/2}+o(x^{-3/2})
所以√(x+2)-2√(x+1)+√x=[√x+1/√x-x^{-3/2}/8+o(x^{-3/2})]-[2√x+1/√x-(1/4)*x^{-3/2}+o(x^{-3/2})]+√x=(1/8)*x^{-3/2}+o(x^{-3/2})~(1/8)*x^{-3/2}=1/8*(1/x)^{3/2}
因此√(x+2)-2√(x+1)+√x是1/x的3/2阶无穷小.

如果不用泰勒公式做则可以考虑洛比达法则或者分母有理化，不过似乎都很复杂.