Question

已知A,B两点是反比例函数y=2/x（x＞0）的图像上任意两点，过A,B两点分别作y轴垂线，垂足分别为A′和B′。

连接OA，OB。设AA′和OB的交点为为P。三角形AOP与与梯形PA′B′B的面积分别为S1和S2。设比较题目大小

Answer 1

设A(X₁,2/X₁) B(X₂,2/X₂)
则A＇(0,2/X₁) B＇(0,2/X₂)
令OA与BB＇交与Q
S(△AOP)=S₁=S(△OQB)+S(梯QBPA）
S(梯PA′B′B)=S₂=S(梯A＇AQB＇)+S(梯QBPA）
∴比较S₁ S₂大小，
即比较S(△OQB)和S(梯A＇AQB＇)大小

又S（△AA＇O）=1/2*AA＇*OA＇=1/2*Ax*Ay =1/2* X₁*2/X₁=1/2*2=1
(Ax:A点横坐标。Ay:A点纵坐标）
S（△BB＇O）=1/2*BB＇*OB＇=1/2*Bx*By =1/2* X₂*2/X₂=1/2*2=1

且S（△AA＇O）=1=S(△OB＇Q)+S(梯A＇AQB＇)
S（△BB＇O）=1=S(△OB＇Q)+S(△OQB)
∴S(梯A＇AQB＇)=S(△OQB)
可得S1=S2

Answer 2

设A、B坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则ABCD面积S1=绝对值[(x1+x2)(y1-y2)]/2;而OAB面积S2=绝对值[(x1y2-x2y1)/2]。故S1/S2=绝对值[(x1+x2)(y1-y2)/(x1y2-x2y1)]=绝对值{[(x1y1-x2y2)/(x1y2-x2y1)]-1};因A、B在y=2/x上,故以y1=2/x1、y2=2/x2,代入前式有S1:S2=1:1。

Answer 3

设A(X₁,2/X₁) B(X₂,2/X₂)
则A＇(0,2/X₁) B＇(0,2/X₂)
令OA与BB＇交与Q
S(△AOP)=S₁=S(△OQB)+S(梯QBPA）
S(梯PA′B′B)=S₂=S(梯A＇AQB＇)+S(梯QBPA）
∴比较S₁ S₂大小，
即比较S(△OQB)和S(梯A＇AQB＇)大小

又S（△AA＇O）=1/2*AA＇*OA＇=1/2*Ax*Ay =1/2* X₁*2/X₁=1/2*2=1
(Ax:A点横坐标。Ay:A点纵坐标）
S（△BB＇O）=1/2*BB＇*OB＇=1/2*Bx*By =1/2* X₂*2/X₂=1/2*2=1

且S（△AA＇O）=1=S(△OB＇Q)+S(梯A＇AQB＇)
S（△BB＇O）=1=S(△OB＇Q)+S(△OQB)
∴S(梯A＇AQB＇)=S(△OQB)
可得S1=S2