Question

讨论函数f(x)=lim(1-x^2n)/(1+x^2n)x的连续性，若有间断点，判断其类型

Answer 1

此函数只有两个是第一类间断点，它们分别是：x=1，x=-1

解：

∵y=lim(x->∞){[(1-x^2n)/(1+x^2n)]x}

∴当│x│<1时，y=x

当│x│=1时，y=0

当│x│>1时，y=-x

∵lim(x->1+)y=lim(x->1+)(-x)=-1

∴lim(x->1-)y=lim(x->1-)(x)=1

∴lim(x->1+)y≠lim(x->1-)y，即x=1是第一类间断点

∵lim(x->-1+)y=lim(x->-1+)(x)=-1

∴lim(x->-1-)y=lim(x->-1-)(-x)=1

∴lim(x->-1+)y≠lim(x->-1-)y，即x=-1是第一类间断点

故此函数只有两个是第一类间断点，它们分别是x=1与x=-1

扩展资料

求函数间断点方法：

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-。

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在.

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

（4）则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

间断点类型：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点

1、可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2、跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

3、无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

4、振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

Answer 2

解：∵y=lim(x->∞){[(1-x^2n)/(1+x^2n)]x}
∴当│x│<1时，y=x
当│x│=1时，y=0
当│x│>1时，y=-x
∵lim(x->1+)y=lim(x->1+)(-x)=-1
lim(x->1-)y=lim(x->1-)(x)=1
∴lim(x->1+)y≠lim(x->1-)y，即x=1是第一类间断点
∵lim(x->-1+)y=lim(x->-1+)(x)=-1
lim(x->-1-)y=lim(x->-1-)(-x)=1
∴lim(x->-1+)y≠lim(x->-1-)y，即x=-1是第一类间断点
故此函数只有两个是第一类间断点，它们分别是x=1与x=-1。