Question

求解微积分一题：这个恰好怎么证？表示只会证明在此区间有实根。

Answer 1

证明：令f(x)=x^3+x-1，显然，f(x)是[0,1]上的连续函数
因为f(0)=-1<0，且f(1)=1>0
所以根据连续函数介值定理，在(0,1)上至少存在一个点a，使得f(a)=0
即方程x^3+x-1=0至少存在一个根x=a
假设在(0,1)上，还存在一点b（b≠a），使b^3+b-1=0
(a^3+a-1)-(b^3+b-1)=0
(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)=0
(a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0
因为a和b都大于0，所以a^2+ab+b^2+1>0
即a-b=0，这与a≠b矛盾
所以方程x^3+x-1=0在(0,1)上有且仅有一个根