Question

高数，求二重极限（答得好追加10~30悬赏）

二重极限要求从所有方向均逼近同一个值，是否能用y=kx和x=0来代表所有方向？即连续二元函数的二重极限中，如果将任意y=kx，带入原式，对任意k均存在极限A，且A与将x=0带入求得的极限值相同，是否可以说明该二重极限=A?若不行，反例是什么？
例：下述证明是否正确？
求证：lim[xy/sqrt(x^2+y^2)]=0,(x,y)→(0,0)
证明：将y=kx带入，得kx/sqrt(k^2+1),无论k取何值，x→0时该式分母不为0且极限等于0；
将x=0带入，y→0时极限等于0
综上，lim[xy/sqrt(x^2+y^2)]=0,(x,y)→(0,0)

Answer 1

y，x可以不是这个关系的，这样证明不正确。（如果是证明极限不存在是，可以设y=kx;极限结果如果是k的函数，就可以证明极限不一致，极限不存在）

例子 ：lim[xy/sqrt(x^2+y^2)]=0,(x,y)→(0,0)
分子分母同除以|xy|;分母趋于无穷大；极限趋于0

追问

谢谢回答这个不是必要条件，
不过我还想知道这是不是充分条件？